DVD在线租赁优化模型

该文以某个进行DVD在线租赁的网站为例，对DVD在线租赁环节进行分析，并建立几个模型解决在租赁过程中遇到的典型问题。问题一中，假设当网站运营达到稳定之后，每月提交两次订单的会员在一个月内任意两天提交的概率相同，这种情况下就形成一种稳态。根据这个假设分析运用概率论的知识进行数据分析，得出结论；问题二中，为使顾客达到最大满意度进行DVD分配，首先建立每个会员对每种DVD满意度的评价指标，每个会员能否获得想要某种DVD建立0-1变量，通过设定目标函数和约束条件，利用Lingo编程得到分配方案。

一、问题重述

问题背景

随着信息时代的到来，网络成为成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。例如，音像制品在线租赁就充分发挥了网络的巨大优势，为顾客提供便捷周到的服务。

在DVD在线租赁问题中，顾客缴纳一定的月费成为会员订购DVD在线租赁服务，会员根据自己的喜好向网站提交订单，网站则通过快递的方式满足会员的需求。会员根据自己的喜好在订单中可包括多张DVD，，这些DVD则根据会员喜好排序。网站根据现有的DVD数量和会员的订单进行分发。每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。会员看完3张DVD之后，只需要将DVD放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。

需解决问题

问题1）。网站正准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人数（表1给出了其中5种DVD的数据）。此外，历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次。假设网站现有10万个会员，对表1中的每种DVD来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD？如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD呢？

二、问题分析

问题1）分析。每个会员对每种DVD的选择为独立事件，根据表1对1000个会员5种DVD的调查结果可以计算出每个会员选择每种DVD的概率。当网站运营达到稳态之后，每天收到寄回的DVD的数量和种类达到稳定，每天接收的订单也同样达到稳定。这样，只需运用概率论的知识，根据题目中所要求满足的百分比找到每天最少的DVD数即可。

问题2）分析。 问题2是一个100种DVD对1000人的一次性分配问题，每位会员均能得到3张（少数会员获得的DVD中有的不在其在线订单中）。首先建立每个会员对每种DVD满意度的评价指标，每个会员能否获得想要某种DVD建立0-1变量，通过设定目标函数和约束条件，利用Lingo编程得到分配方案。

三、基本假设

图表中给出的数据均真实可靠；网站已经运行一段时间，并且已达到平稳状态，它拥有一定的会员群体，并且会员人数庞大且基本保持稳定；每月只提交一次订单的会员在一个月内任意一天提交的概率相同；该文原载于中国社会科学院文献信息中心主办的《环球市场信息导报》杂志http：//总第547期2014年第15期-----转载须注名来源每月提交两次订单的会员在一个月内任意两天提交的概率相同；会员必须履行会员义务，即每月至少租赁一次，且每月最多租赁两次；每个会员均能还回DVD，且每个DVD能够循环租赁；每月中每位会员租赁的次数是固定的。

五、模型的建立及求解

5.1问题1）

一个月以内。每种DVD之间是独立的，每月只提交一次订单的会员在一个月内任意一天提交的概率相同；每月提交两次订单的会员在一个月内任意两天提交的概率相同，可把每月提交两次订单的会员看成两个独立的每月提交一次订单的会员，则此时一个月内希望看到第 种DVD的总人数 如下计算：

六、模型的评价

在解决第一个问题上，我们在网站运营达到稳态的情况下考虑了DVD 购买问题，并且认为每月只提交一次订单的会员在一个月内任意一天提交的概率相同；每月提交两次订单的会员在一个月内任意两天提交的概率相同，运用概率论的知识对每种DVD的购买数量进行求解，这种方法简单并且求出的结果准确可靠。解决第二个问题时，采用了0-1规划模型，对于这一个大规模的线性规划问题，不论是目标函数，还是约束条件，都做出了精确的描述，因此，得到的结果十分令人满意。

（作者单位：长安大学建工学院）