求二\三阶矩阵逆矩阵的记忆口诀

摘 要： 本文通过研究二阶、三阶矩阵的逆矩阵，给出了二阶、三阶逆矩阵的记忆口诀.通过这个口诀学生可以快速计算出二阶、三阶矩阵的逆矩阵.这对准备考研的理科学生有很大的参考价值.

关键词： 二阶矩阵 三阶矩阵 记忆口诀 逆矩阵

1.问题提出及准备知识

在各类理工科数学考试题目中均有求矩阵逆矩阵的题目，这个题目虽然简单，但是要按照课本上给出的方法计算的话，要费一些时间，更可怕的是，计算过程中难免有失误，容易造成结果出错.

我们研究了一些考试试卷，发现大部分求逆矩阵的题目都是求二阶或者三阶矩阵的逆矩阵.针对此，我们给出了相应的记忆口诀，按照这记忆口诀学生可以快速计算出矩阵的逆矩阵.

首先给出一些准备知识.本文所用的其他概念和符号请参考文献［１］.

定义1.1［１］对于阶方阵，如果有一个阶方阵，使

AB=BA=E，

则称A是可逆的，并把方阵B称为A的逆矩阵，记为A.

定义1.2［１］阶行列式|A|的各个元的代数余子式所构成的如下矩阵

A*=A A … AA A … A… ……A A … A，

称为矩阵A的伴随矩阵.

引理1.3［１］方阵A可逆的充分必要条件是|A|≠0，且当A可逆时，A=A，其中A是A的伴随矩阵.

2.二阶矩阵的逆矩阵记忆口诀

按照引理1.3我们得到下列结论.

结论2.1 设A=a bc d，a，b，c，d∈R，且A可逆，那么Ad -b-c a，所以

A=d -b-c a（2.1）

由以上结论我们可以得到记忆口诀:主对调，次变号，除行列.

具体含义是主对角线上的两个元素对换位置，次对角线上的每个元仅仅增加一个负号，然后除以矩阵的行列式.

3.三阶矩阵的逆矩阵记忆口诀

对于三阶矩阵，按照引理1.3我们得到下列结论.

结论3.1 设A=a b cd e fg h i，A∈R，且A可逆，那么：

A=ei-hf -（bi-hc）bf-cefg-id -（cg-ia） cd-afdh-ge-（ah-gb） ae-bd（3.1）

先分析公式（3.1）中矩阵的第一列，研究如下表格.

可以看出公式（3.1）中包含的矩阵的第一列恰好是表3.1中所有元素的组合，组合规律（称为231312规律）如下：

（1）第一行的第二、三、一列分别乘以第二行的第三、一、二列得到ei，fg，dh.

（2）第二行的第二、三、一列分别乘以第一行的第三、一、二列得到hf，id，ge.

（3）由（1）中所得到的数据减去（2）中所对应的数据，就得到公式（3.1）中矩阵所对应的第一列.

同样的道理，可以分析公式（3.1）中包含的矩阵的第二和第三列.

由此，得到记忆口诀:除行列，别忘记，去一行，得一列，二变号，余不变，二三一，三一二，二三一，三一二.

解释如下：

去一行，得一列的含义是去掉矩阵的某一行，能够得到矩阵剩余的两行，由此可以列成表（3.1）的样子，从而得到公式（3.1）中的某一列.

二变号，余不变的意思是公式（3.1）中包含的矩阵的第二列是按照231312规律得到的数字后再加上一个负号得到的，其余各列不需要加负号.

例题3.1 计算A=3 7 -3-2 -5 2-4 -10 3的逆矩阵.

解：通过简单计算可以得到|A|=1.

按照231312规律得到：

A=（-5）·3-（-10）·2 -［7.3-（-10）·（-3）］ 7·2-（-5）·（-3）2·（-4）-3·（-2） -［（-3）·（-4）-3·3］ （-3）·（-2）-2·3（-2）·（-10）-（-4）·（-5）-［3·（-10）-（-4）·7］ 3·（-5）-2·7=5 9 -1-2-3 00 2 -1.

参考文献：

［1］吴传生主编.经济数学——线性代数（第二版）［M］.高等教育出版社.

重庆三峡学院青年项目（编号：10QN-28），重庆市科委项目（编号：CSTC，2010BB0314）。